Saņejevs triumfēja trīs olimpiskajās spēlēs pēc kārtas 1968.gadā Mehiko, 1972.gadā Minhenē un 1976.gadā Monreālā.
1980.gadā Maskavā notikušajās sacensībās, kuru norisi aizēnoja pretrunīgā tiesāšana, Saņejevs finālā piekāpās citam Padomju Savienības sastāvā startējušajam vieglatlētam, igaunim Jākam Ūdmē.
Tāpat Saņejevs divas reizes uzvarēja Eiropas čempionātā stadionā un sešas reizes bija pirmais Eiropas čempionātā telpās.
Saņejeva personīgais rekords bija 1972.gadā sasniegtie 17,44 metri un viņš trīs reizes bija pasaules rekordista godā. Pēc PSRS sabrukumu Saņejevs, kurš ir viens no 20.gadsimta Gruzijas izcilākajiem sportistiem, pārcēlās uz Austrāliju.